F7PBBLAD - Lineární algebra a diferenciální počet

Cílem předmětu je seznámení se se základními tématy diferenciálního počtu a se základy lineární algebry, s jejich využitím ve vybraných úlohách technické praxe. Získání početních dovedností při řešení jak cvičných, tak i aplikačních úloh technické praxe. Zlepšení schopnosti samostatně řešit zadané úlohy. Vstupní požadavky studentů na předmětu jsou:

Středoškolská matematika – algebraické výrazy, jejich úprava, zlomky, mocniny odmocniny, elementární funkce, goniometrické funkce, základní vzorce a pravidla, základy geometrie v rovině. Po absolvování předmětu studenti získají následné výstupní znalosti, dovednosti, schopnosti a kompetence: Schopnost orientovat se v probraných tématech, a souvislostech, posílení schopnosti samostatně řešit zadané úlohy a aktivizovat vlastní logického uvažování.

Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta

A - Povinná účast na cvičeních, absence musí být řádně omluveny předem a následně doloženy např. lék. potvrzením. Dle situace buď nahrazeny na cvičeních v tomtéž týdnu, nebo formou mimořádných úloh, které student řádně vypracuje a odevzdá svému vyučujícímu v dohodnutém termínu.

Účast na přednáškách není povinná, pokud se však student na přednášku nedostaví, je povinen si probíranou látku doplnit samostudiem a do cvičení musí přijít připraven.

B - Znalosti v rozsahu jednotlivých témat přednášek jsou prověřeny dvěma polo-semestrálními testy, které studenti absolvují v jednotném termínu společně v polovině a na konci semestru dle harmonogramu výuky předmětu pro daný akademický rok. Při testech jsou povoleny kalkulačky s certifikátem k DT maturitní zkoušky z matematiky (tj. neprogramovatelné, bez integrálů a řešení rovnic) a seznam vzorců, který bude součástí zadání testu.

Podmínkou udělení zápočtu je splnění bodu A a zisk minimálně 50 % bodů z obou polo-semestrálních testů (každý test max. 50 bodů, minimum pro úspěšné splnění je tedy 50 bodů v součtu).

Podmínkou připuštění ke zkoušce je zápočet zapsaný v KOSu. Zkouška je pouze písemná, trvá 120 minut, povoleny jsou kalkulačky a seznamy vzorců stejné jako u polo-semestrálních testů. Zkouška obsahuje převážně početní příklady doplněné teoretickými podotázkami v rozsahu probrané látky. K bodovému zisku zkouškového testu (75 bodů) budou připočítány body z obou polo-semestrálních testů takto: bodový zisk nad povinných 50 % děleno 2. Celkový počet bodů je tedy 100.

Hodnocení předmětu: A: 100-90, B: 89-80, C: 79-70, D: 69-60, E: 59-50, F: méně než 50.

Osnova přednášek:

1. Číselné množiny, posloupnosti čísel, základní vlastnosti posloupností, limita posloupnosti.

2. Více o množině komplexních čísel, operace s komplexními čísly. Řady reálných i komplexních čísel, součet řady, srovnávací kritérium konvergence. Mocninná řada.

3. Reálná funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy, operace s funkcemi, složená a inverzní funkce, přehled elementárních funkcí.

4. Limita funkce, základní vlastnosti. Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. Spojitost funkce v bodě a na intervalu, vlastnosti spojitých funkcí.

5. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam, základní vlastnosti a vzorečky pro derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí. Derivace složené a inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí.

6. L´Hospitalovo pravidlo. Derivace vyšších řádů. Vyšetření lokálních a globálních extrémů funkce pomocí derivace.

7. Svislé a šikmé asymptoty grafu funkce. Průběh funkce. Diferenciál funkce a jeho aplikace. Taylorův polynom.

8. Taylorův polynom. Taylorova řada. Z konkrétních příkladů: Taylorovy polynomy a Taylorovy řady exponenciální funkce a funkcí sin x a cos x.

9. Vektrrový prostor. Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Báze a dimenze vektorového prostoru.

10. Podprostor vektorového prostoru. Lineární obal skupiny vektorů. Matice, typy matic, operace s maticemi. Hodnost matice, určení hodnosti.

11. Čtvercová matice, jednotková matice, inverzní matice, matice regulární a singulární. Determinant čtvercové matice, metody výpočtu. Výpočet inverzní matice pomocí determinantu.

12. Souvislost determinantu s existencí inverzní matice. Metody výpočtu inverzní matice. Soustava lineárních algebraických rovnic, homogenní a nehomogenní soustava.

13. Struktura množiny všech řešení homogenní i nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic. Gaussova eliminační metoda.

14. Frobeniova věta. Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice.

Osnova cvičení:

1. Vstupní test - středoškolská matematika (nezapočítává se do hodnocení). Opakování vybraných partií ze středoškolské matematiky

2. Číselné množiny. Posloupnosti. limity posloupností.

3. Řady čísel, srovnávací kritérium konvergence, součet řady.

4. Elementární funkce, jejich vlastnosti a průběhy. Složené a inverzní funkce.

5. Limita funkce. Výpočty různých typů limit.

6. Výpočty derivací konkrétních funkcí, aplikace základních vzorečků pro výpočet derivací elementárních funkcí, derivací součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí a derivace složené funkce.

7. Výpočty limit pomocí l´Hospitalova pravidla. Derivace vyšších řádů. Vyšetření lokálních a globálních extrémů funkce pomocí derivace.

8. Tečna a normála grafu funkce, asymptoty grafu funkce. Vyšetření průběhu funkce.

9. Taylorův polynom. Taylorova řada. Taylorovy polynomy vybraných funkcí.

10. Lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů. Báze vektorového prostoru, vyjádření vektoru k různých bázím. Dimenze vektorového prostoru.

11. Příklady podprostorů. Operace s maticemi. Vyšetření hodnosti matice (Gaussův algoritmus)

12. Výpočty determinantů čtvercových matic, výpočet inverzní matice pomocí determinantu i pomocí Gaussova algoritmu.

13. Řešení SLAR Gaussovou eliminační metodou.

14. Řešení SLAR Cramerovým pravidlem. Užití Frobeniovy věty. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů čtvercové matice.

Seznámení se se základními tématy diferenciálního počtu a se základy lineární algebry, s jejich využitím ve vybraných úlohách technické praxe. Získání početních dovedností při řešení jak cvičných, tak i aplikačních úloh technické praxe. Zlepšení schopnosti samostatně řešit zadané úlohy.

Povinná literatura:

[1]NEUSTUPA, Jiří. Matematika 1. 3. přeprac. vyd. Praha: ČVUT, 1997. ISBN 80-01-02555-1

[2]NEUSTUPA, J. a KRAČMAR, S, Sbírka příkladů z matematiky I. Praha: ČVUT, 2004. ISBN 80-01-02677-9.

[3]NEUSTUPA, J. Mathematics 1. Praha: ČVUT, 2004. ISBN 80-01-02946-8.

Doporučená literatura:

[1]TKADLEC, J. Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Praha:ČVUT, 2004. ISBN 80-01-03039-3.

[2]STEWART, J. Calculus. Seventh edition. Belmont: Brooks/Cole, 2012. ISBN 978-0-538-49781-7.

Studijní pomůcky:

Eva Feuerstein:Texty přednášek a pracovních listů pro cvičení https://predmety.fbmi.cvut.cz/cs/17PBBLAD

• Bakalářský studijní program Biomedicínská technika (povinný předmět)
• Bakalářský studijní program Biomedicínská technika (povinný předmět)