F7PBBITP - Integrální počet

Předmět je úvodem do integrálního počtu a integrálních transformací.

Integrální počet: teoretické poznatky týkající se neurčitého, určitého a nevlastního integrálu včetně výpočetních metod, jednoduché aplikace určitého integrálu pro výpočet obsahu rovinných ploch, objemů a ploch rotačních těles, statických momentů a těžišť i aplikace integrálu při řešení vybraných typů diferenciálních rovnic.

Úvod do integrálních transformací: Laplaceova a zpětná Laplaceova transformace a jejich užití při řešení diferenciálních rovnic.

Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta

A - Povinná účast na cvičeních, absence musí být řádně omluveny předem a následně doloženy např. lékařským potvrzením. Maximálně tři řádně omluvené absence. Na cvičeních je hodnocena aktivní účast (max. 5 body za semestr, a ty jsou připočítány k hodnocení ke zkoušce).

Účast na přednáškách není povinná, pokud se však student na přednášku nedostaví, je povinen si probíranou látku doplnit samostudiem a do cvičení musí přijít připraven.

B - Znalosti v rozsahu jednotlivých témat přednášek jsou prověřeny dvěma polo-semestrálními testy, které studenti absolvují v jednotném termínu společně v polovině a na konci semestru dle harmonogramu výuky předmětu pro daný akademický rok. Při testech jsou povoleny kalkulačky s certifikátem k DT maturitní zkoušky z matematiky (tj. neprogramovatelné, bez integrálů a řešení rovnic) a seznam vzorců, který bude součástí zadání testu.

Podmínkou udělení zápočtu je splnění bodu A a zisk minimálně 50 % bodů z obou polo-semestrálních testů (každý test max. 40 bodů, minimum pro úspěšné splnění je tedy 40 bodů v součtu).

Podmínkou připuštění ke zkoušce je zápočet zapsaný v KOSu. Zkouška je pouze písemná, trvá 120 minut, povoleny jsou kalkulačky a seznamy vzorců stejné jako u polo-semestrálních testů. Zkouška obsahuje převážně početní příklady doplněné teoretickými podotázkami v rozsahu probrané látky na přednáškách. Zkouškový test se sestává z početních úloh z látky probírané na přednáškách a cvičeních doplněných teoretickými podotázkami. Maximální bodový zisk je 75 bodů, pro úspěšné splnění zkouškového testu, musí student získat alespoň polovinu bodů tj. 37,5 bodů). K bodovému zisku zkouškového testu budou připočítány body z obou polo-semestrálních testů takto: bodový zisk nad povinných 50 % děleno 2 (max. 20 bodů) a přičteny body za aktivitu při cvičeních (max. 5 bodů). Celkový počet bodů je tedy (75+20+5) 100.

Hodnocení předmětu: A: 100-90, B: 89-80, C: 79-70, D: 69-60, E: 59-50, F: méně než 50.

1. Primitivní funkce, neurčitý integrál, základní vlastnosti. Tabulkové integrály, integrace metodou per partes.

2. Substituční metoda. Integrace jednodušších racionálních funkcí - rozklad na parciální zlomky.

3. Integrály parciálních zlomků. Integrace goniometrických funkcí, jejich součinů a mocnin.

4. Určitý (Riemannův) integrál. Geometrický a fyzikální význam. Newton-Leibnizův vzorec. Užití metody per-partes při výpočtu určitého integrálu

5. Užití substituční metody při výpočtu určitého integrálu. Další geometrické a fyzikální aplikace.

6, Nevlastní Riemannův integrál (vlivem funkce, vlivem meze).

7. 1. polosemestrální test.

8. Obycejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu se separovatelnými proiměnnými. Počáteční podmínka, Cauchyova úloha. Jednoduché aplikace.

9. Lineární ODR 1. řádu (homogenní i nehomogenní). Metoda variance konstanty.

10. Lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty (homogenní i nehomogenní). Charakteristická rovnice, fundamentální system řešení homogenní rovnice, obecné řešení homogenní rovnice.

11. Partikulární řešení nehomogenní rovnice, obecné řešení nehomogenní rovnice. Metody nalezení partikulárního řešení: metoda odhadu a variace konstant.

12. Laplaceova transformace a zpětná Laplaceova transformace. Užití Laplaceovy transformace při řešení ODR.

13. Opakování: řešení různých typů ODR různými metodami. Aplikace v geometrii, ve fyzice, v chemii, v populační dynamice, šíření nákazy, šíření informace, atd.

14. 2. polosemestrální test.

1. Neurčité integrály, užití vzorců z tabulky základních neurčitých integrálů, integrace per-partes.

2. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů. Rozklad jednodušších racionálních funkcí na parciální zlomky.

3. Integrace jednodušších racionálních funkcí. Integrace goniometrických funkcí, jejich součinů a mocnin.

4. Výpočet určitého integrálu, Newton-Leibnizův vzorec, metoda per-partes v určitém integrálu.

5. Užití substituční metody při výpočtu určitého integrálu. Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu: obsah rovinné desky, délka křivky, obsahy a povrchy rotačních těles, hmotnost, souřadnice těžiště, apod.

6. Opakování látky před 1. polosemestrálním testem.

7. Výpočet nevlastních integrálů.

8. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu, řešení metodou separace proměnných. Fyzikální i jiné aplikace.

9. Lineární ODR 1. řádu, variace konstanty.

10. Lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice, fundamentální systém řešení homogenní rovnice, obecné řešení homogenní rovnice.

11. Obecné řešení nehomogenní rovnice, metody nalezení partikulárního řešení: variace konstant a metoda odhadu. Fyzikální aplikace (v mechanice, elektrodynamice, apod.).

12. Laplaceova transformace, zpětná Laplaceova transformace.

13. Laplaceova transformace, užití při řešení ODR.

14. Opakování a systematizace poznatků před zkouškou.

Cílem předmětu je získat základní znalosti z oblastí integrálního počtu (neurčitý integrál, určitý Riemannův integrál, dvojný integrál, aplikace) a obyčejných diferenciálních rovnic (= ODE) (ODE se separovatelnými proměnnými, lineární ODE 1. a 2. řádu s konstantními koeficienty, aplikace).

[1] Tkadlec J.: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné, skriptum ČVUT, 2004

[2] Tkadlec J.: Diferenciální rovnice, Laplaceova transformace, skriptum ČVUT, 2005

[3] Hamhalter J., Tyšer J.: Integrální počet funkcí více proměnných, skriptum ČVUT, 2005

[4] Neustupa J., Kračmar, S.: Sbírka příkladů z Matematiky I., skriptum FS ČVUT

[5] Neustupa J.: Matematika I, skriptum FS ČVUT

[6] http://math.feld.cvut.cz/mt/index.htm

[7] http://math.fme.vutbr.cz

[8] http://www.studopory.vsb.cz

[9] http://dagles.klenot.cz/rihova

• Bakalářský studijní program Biomedicínská technika (povinný předmět)
• Bakalářský studijní program Biomedicínská technika (povinný předmět)