17PBTZNM - Praktické základy numerických metod

Předmět poskytne studentům základní orientaci v numerických metodách včetně praktické implementace vybraných metod a jejich ověření na experiemntálních biomedicínských datech. Pozornost je věnována těmto tématům: Interpolace, aproximace metodou nejmenších čtverců , základní metody lieární algebry, metody numerické integrace, numerické metody pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, iterační řešení algebraických a transcendentních rovnic, metody hledání extrémů funkcí a vybrané metody pro hledání kořenů polynomů.

Absolvování základního kurzu programování v C/C ++, znalost matematiky na středoškolské úrovni resp. na úrovni kurzů matematiky vyučovaných na FBMI ČVUT.

1. Význam a klasifikace numerických metod. Chyby výpočtu, zaokrouhlovací chyby, stabilita algoritmu.

2. Základní Interpolační metody - Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom.

3. Interpolace lineárním a kubickým spline, příklady aplikace.

4. Základní aproximační metody - metoda nejmenších čtverců,.lineární aproximace, aproximace polynomem.

5. Nelineární aproximace - exponenciální, logartimická aj., příklady využití.

6. Úvod do numerických metod lineární algebry - Gausoova eleiminační metoda,

7. LU-rozklad, výpočet determinantu.

8. Iterační metody - Jacobiho metoda, Gauss-Seidlova metoda. Výpočet vlastních čísel a vektorů matice.

9. Přehled metod numerické derivace - dopředné a zpětné diference, vícebodové formule.

10. Přehled metod numerické integrace - obdélníková, lichoběžníková, Simpsonova metoda, Newton-Cotesovy formule uzavřeného typu, složené kvadraturní metody, přesnost integrace.

11. Základní numerické metody pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic - Eulerova metoda, Runge-Kutta, postupné aproximace.

12. Metody řešení algebraických a transcendentních rovnic, separace řešení, iterační metody - metoda sečen, regula falsi, Newtonova metoda.

13. Metody hledání extrémů funkcí - metoda zlatého řezu, parabolická interpolace, simplexová metoda.

14. Metody pro hledání kořenů polynomů, pojem lokální a globální konvergence.

1. Implementace interpolačních polynomů I. - Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom.

2. Implementace interpolačních polynomů II. - lineárním a kubický spline

3. Implementace aproximace metodou nejmenších čtverců I. - lineární aproximace a aproximace polynomem.

4. Implementace aproximace metodou nejmenších čtverců II. - nelineární aproximace - exponenciální, logartimická

5. Implementace numerických metod lineární algebry - Gausoova eleiminační metoda, LU-rozklad, výpočet determinantu.

6. Implementace iteračních metod - Jacobiho metoda, Gauss-Seidlova metoda.

7. Implementace metod numerické derivace - dopředné a zpětné diference, vícebodové formule.

8. Implementace metod numerické integrace - obdélníková, lichoběžníková, Simpsonova metoda, složené kvadraturní metody

9. Přáklady numerických metod pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic - Eulerova metoda, Runge-Kutta, metoda postupné aproximace.

10. Implementace řešení algebraických a transcendentních rovnic, separace řešení, iterační metody - metoda sečen, regula falsi, Newtonova metoda.

11. Příklady metod hledání extrémů funkcí

12. Příklady metod pro hledání kořenů polynomů, pojem lokální a globální konvergence.

13. Řešení samostané semestrální úlohy

14. Řešení samostané semestrální úlohy a prezentace výsledků.

Poskytnout studentům prakticky a aplikačně orientovaný přehled základních numerických metod, včetně příkladů implementace jednotlivých postupů a použití na reálných biomedicínských datech.

Povinná literatura:

•William H. Press et al.: Numerical Recipes in C (3rd edition),. Cambridge University Press 2007

•Smith et al.: Digital Signal Processing (2nd edition), Kalifornia Technical Publishing, San Diego 2004

Doporučená literatura:

Kuo S., Lee B. et al.:Real-Time Digital Signal Processing: Fundamentals, Implementations and Applications, 3rd Edition, Wiley, 2013

• Bakalářský studijní obor Informační a komunikační technologie v lékařství (povinný předmět)