F7PBNMA2 - Matematika II.

Předmět Matematika II se zaměřuje na pokročilé techniky integrálního počtu a diferenciální rovnice. Studenti se seznámí s metodami výpočtu neurčitých a určitých integrálů, včetně speciálních technik pro integraci racionálních a goniometrických funkcí. Dále se probírají aplikace integrálů v geometrii a fyzice, nevlastní integrály a dvojné integrály včetně transformací do polárních souřadnic. Druhá část kurzu je věnována obyčejným diferenciálním rovnicím prvního a druhého řádu, metodám jejich řešení a aplikacím, včetně využití Laplaceovy transformace. Kurz je doplněn o dva pololetní testy a cvičení, která prakticky procvičují probíranou látku.

Podmínky zápočtu: Povinná účast na cvičeních, absence musí být řádně omluveny předem a následně doloženy např. lékařským potvrzením. Maximálně tři řádně omluvené absence. Na cvičeních je hodnocena aktivní účast (max. 5 body za semestr, a ty jsou připočítány k hodnocení ke zkoušce).

Podmínky zkoušky: Zápočet zapsaný v KOSu.

Zkouška je písemná (popřípadě ústní) skládající se z teoretických a praktických otázek pokrývající probranou látku a příkladů odpovídající obtížností i rozsahem látky příkladů probíraných na cvičeních.

Zkouška je hodnocena dohromady 100 body. Výsledné známkování je standardní podle dosažených bodů A-F.

Důraz je kladen na porozumění dané problematice a souvislosti. U zkoušky je povolena kalkulačka.

1. Úvod do komplexních čísel, definice komplexního čísla, reálná a imaginární část. Algebraické operace s komplexními čísly. Geometrická interpretace komplexních čísel v komplexní rovině (Argandův diagram). Absolutní hodnota a komplexně sdružené číslo.

2. Polární tvar komplexního čísla, Převod mezi kartézským a polárním tvarem. Násobení a dělení komplexních čísel v polárním tvaru. Moivreova věta a její aplikace pro výpočet mocnin a odmocnin komplexních čísel.

3. Primitivní funkce - neurčitý integrál, vlastnosti. Metoda per partes.

4. Metody výpočtu neurčitého integrálu. Substituce, Integrování racionálních funkcí - rozklad na parciální zlomky.

5. Integrovaní goniometrických funkcí.

6. Určitý (Riemannův) integrál, Newton-Leibnizův vzorec, aplikace.

7. Nevlastní integrál vlivem funkce, vlivem meze.

8. Dvojný integrál, metody výpočtu. Jakobián a substituce v dvojném integrálu, polární souřadnice.

9. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu, formulace úloh pro ODR.

10.Řešení ODR 1. řádu se separovanými proměnnými.

11.Homogenní ODR, lineární ODR a metoda variace konstanty.

12.Laplaceova transformace a zpětná Laplaceova transformace.

13.Užití Laplaceovy transformace pro řešení počáteční úlohy pro ODR n-tého řádu.

14.Řešení diferenciálních rovnic různými metodami - aplikační úlohy.

1. Úvod do komplexních čísel, Algebraické operace s komplexními čísly (sčítání, odčítání, násobení, dělení).

2. Polární tvar komplexního čísla, Převod mezi kartézským a polárním tvarem. Násobení a dělení komplexních čísel v polárním tvaru. Moivreova věta a její aplikace pro výpočet mocnin a odmocnin komplexních čísel.

3. Neurčité integrály, užití vzorců z tabulky základních neurčitých integrálů, integrace per-partes.

4. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů. Rozklad jednodušších racionálních funkcí na parciální zlomky.

5. Integrace jednodušších racionálních funkcí. Integrace goniometrických funkcí, jejich součinů a mocnin.

6. Výpočet určitého integrálu, Newton-Leibnizův vzorec, metoda per-partes a substituční metoda v určitém integrálu.

7. Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu: obsah rovinné desky, délka křivky, obsahy a povrchy rotačních těles, hmotnost, souřadnice těžiště, apod.

8. Výpočet nevlastních integrálů.

9. Funkce dvou proměnných: výpočty parciálních derivací, tečná rovina, derivace ve směru.

10 Výpočet dvojného integrálu: užití Fubiniho věty a transformace do polárních souřadnic. Geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu.

11.Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu, řešení metodou separace proměnných, fyzikální i jiné aplikace.

12.Řešení ODR 1. řádu se separovanými proměnnými - metoda separace proměnných. Lineární ODR 1. řádu, variace konstanty.

13.Lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice, fundamentální systém řešení homogenní rovnice, obecné řešení homogenní rovnice.

14.Obecné řešení nehomogenní rovnice, metody nalezení partikulárního řešení: variace konstant a metoda odhadu. Fyzikální aplikace (v mechanice, elektrodynamice, apod.). Užití Laplaceovy transformace při řešení ODR.

V průběhu přednášek pak bude prováděno anketní dotazování na klíčové otázky vyučované problematiky, tak aby přednášející získal zpětnou vazbu, jak studenti dané problematice rozumí.

V rámci cvičení bude student samostatně zpracovávat odborná témata tak aby získal praktické zkušenosti z dané problematiky, zde dostane student prostor i pro vlastní kreativitu zejména při psaní závěrečných zpráv.

[1] TKADLEC, Josef. Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. 2., přeprac. vyd. V Praze: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2011. ISBN 978-80-01-04792-7.

[2] KRAČMAR, Stanislav; MRÁZ, František a NEUSTUPA, Jiří. Sbírka příkladů z matematiky I. 5., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické. 2017. ISBN 978-80-01-05267-9.

Doporučená literatura:

[1] KADLEC, Josef. Diferenciální rovnice: Laplaceova transformace. Praha: České vysoké učení technické, 2007. ISBN 978-80-01-03207-7.

• Bakalářský studijní program Biomedicínské nanotechnologie (povinný předmět)